M08 - Ordonnancement MPM

M08 - Ordonnancement : méthode MPM et chemin critique

Objectif

Planifier un projet (ex. déploiement d’un réseau) : dates au plus tôt, au plus tard, marges, chemin critique et durée minimale.

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1. La méthode en 5 étapes

flowchart LR
  A["1. Tableau des tâches<br/>durées + antériorités"] --> B["2. Graphe MPM<br/>(une tâche = un nœud)"]
  B --> C["3. Dates au PLUS TÔT<br/>passage de gauche à droite<br/>→ MAXIMUM"]
  C --> D["4. Dates au PLUS TARD<br/>passage de droite à gauche<br/>→ MINIMUM"]
  D --> E["5. Marges<br/>+ chemin critique"]

Notion	Formule
Tôt(T)	${\max }_{P\text{ preˊdeˊcesseur}}(\text{Toˆt}(P)+\text{dureˊe}(P))$ ; 0 pour les tâches sans antériorité
Fin du projet	$\max (\text{Toˆt}(T)+\text{dureˊe}(T))$
Tard(T)	${\min }_{S\text{ successeur}}(\text{Tard}(S))-\text{dureˊe}(T)$ ; pour les dernières tâches : Fin − durée
Marge totale	Tard − Tôt : retard possible sans retarder le projet
Marge libre	$\min (\text{Toˆt}(S))-\text{Toˆt}(T)-\text{dureˊe}(T)$ : retard possible sans retarder aucune autre tâche
Tâche critique	Marge totale = 0
Chemin critique	Chemin début → fin formé de tâches critiques ; sa longueur = durée minimale du projet

Représentation d’un nœud :

Tâche
Tôt	Tard
Durée

2. Exemple complet

Tâche	Description	Durée (j)	Antériorités
A	Étude des besoins	3	-
B	Commande du matériel	2	A
C	Câblage des locaux	4	A
D	Configuration et tests	1	B, C

flowchart LR
  DEB["Début<br/>0 | 0"] --> A["A (3 j)<br/>Tôt 0 | Tard 0"]
  A --> B["B (2 j)<br/>Tôt 3 | Tard 5"]
  A --> C["C (4 j)<br/>Tôt 3 | Tard 3"]
  B --> D["D (1 j)<br/>Tôt 7 | Tard 7"]
  C --> D
  D --> FIN["Fin<br/>8 | 8"]
  style A fill:#fecaca,stroke:#b91c1c
  style C fill:#fecaca,stroke:#b91c1c
  style D fill:#fecaca,stroke:#b91c1c

Plus tôt : A = 0 ; B = C = 0 + 3 = 3 ; D = max(3 + 2, 3 + 4) = 7 ; Fin = 7 + 1 = 8. Plus tard : D = 8 − 1 = 7 ; B = 7 − 2 = 5 ; C = 7 − 4 = 3 ; A = min(5, 3) − 3 = 0.

Tâche	Tôt	Tard	Marge totale	Marge libre
A	0	0	0	0
B	3	5	2	2
C	3	3	0	0
D	7	7	0	0

→ Chemin critique A → C → D, durée minimale 8 jours. B peut prendre 2 jours de retard sans conséquence.

3. Impact d’un retard

Situation	Conséquence
Retard ≤ marge libre	Aucune autre tâche n’est décalée
Marge libre < retard ≤ marge totale	Des tâches suivantes sont décalées, mais pas la fin du projet
Retard > marge totale	Le projet est retardé de (retard − marge totale)
Retard sur une tâche critique	Le projet est retardé d’autant

Pour réduire la durée du projet, il faut raccourcir une tâche critique (raccourcir B ne sert à rien).

4. Script : scripts/maths/mpm.py

python3 mpm.py "A:3: B:2:A C:4:A D:1:B,C"

Format : Nom:Durée:Antériorités (antériorités séparées par des virgules, vide si aucune). Affiche Tôt, Tard, marges totale et libre, chemin critique et durée minimale.

5. Lien avec le BTS

Gestion de projet informatique (déploiement, migration, épreuve E5/E6 : planifier une réalisation), diagrammes de Gantt (GLPI Projets, MS Project, GanttProject). Un Gantt Mermaid dans Obsidian :

gantt
  title Projet déploiement (8 jours)
  dateFormat  YYYY-MM-DD
  section Critique
  A Étude des besoins       :crit, a, 2026-11-02, 3d
  C Câblage                 :crit, c, after a, 4d
  D Config et tests         :crit, d, after c, 1d
  section Avec marge
  B Commande matériel       :b, after a, 2d

Voir aussi

• M07 - Graphes et plus court chemin
• Retour : 00 - Index général