M02 - Numération (binaire, hexa)

M02 - Numération : binaire, hexadécimal, complément à 2, ASCII

Objectif

Convertir entre bases 10, 2 et 16 sans calculatrice, coder des nombres négatifs (complément à 2) et à virgule, additionner en binaire, comprendre l’ASCII et le bit de parité. Indispensable pour les adresses IP, MAC et IPv6.

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1. Les trois bases

Base	Chiffres	Exemple	Usage en informatique
10 (décimal)	0-9	166	Humains
2 (binaire)	0, 1	1010 0110	Machine, masques réseau
16 (hexadécimal)	0-9, A-F	A6	Adresses MAC, IPv6, couleurs #A6FF00, mémoire

Déc	Bin	Hex		Déc	Bin	Hex
0	0000	0		8	1000	8
1	0001	1		9	1001	9
2	0010	2		10	1010	A
3	0011	3		11	1011	B
4	0100	4		12	1100	C
5	0101	5		13	1101	D
6	0110	6		14	1110	E
7	0111	7		15	1111	F

Puissances de 2 : $2^0=1,2^1=2,2^2=4,2^3=8,2^4=16,2^5=32,2^6=64,2^7=128,2^8=256,2^9=512,2^{10}=1024$.

2. Conversions

flowchart LR
  D["Décimal"] -->|"divisions successives par 2<br/>(restes lus de bas en haut)<br/>ou soustraire les puissances de 2"| B["Binaire"]
  B -->|"somme des puissances de 2<br/>des bits à 1"| D
  B -->|"groupes de 4 bits<br/>depuis la droite"| H["Hexadécimal"]
  H -->|"chaque chiffre → 4 bits"| B
  H -->|"Σ chiffre × 16^rang"| D

Décimal → binaire (46) : $46=2\times 23+0$ ; $23=2\times 11+1$ ; $11=2\times 5+1$ ; $5=2\times 2+1$ ; $2=2\times 1+0$ ; $1=2\times 0+1$ → lecture de bas en haut : 101110.

Binaire → décimal : $(10100110{)}_2=128+32+4+2=166$.

Binaire ↔ hexa : $(10100110{)}_2=(A6{)}_{16}$ ; $(D4A{)}_{16}=110101001010$.

Hexa → décimal : $(D4A{)}_{16}=13\times 256+4\times 16+10=3402$.

3. Nombres négatifs : complément à 2 (sur 8 bits)

• Le bit de gauche indique le signe (1 = négatif).
• Plage signée sur 8 bits : −128 à +127 (non signée : 0 à 255).
• Méthode : pour coder $-n$, on code $256-n$ en binaire.

Valeur	Calcul	Binaire
−1	256 − 1 = 255	1111 1111
−12	244	1111 0100
−58	198	1100 0110
−97	159	1001 1111

Autre méthode : écrire $n$ en binaire, inverser tous les bits, ajouter 1. (58 = 0011 1010 → 1100 0101 → +1 = 1100 0110 ✓)

4. Virgule fixe (4 bits entiers + 4 bits de fraction)

Poids après la virgule : $2^{-1}=0,5$ ; $2^{-2}=0,25$ ; $2^{-3}=0,125$ ; $2^{-4}=0,0625$. $13,75=8+4+1+0,5+0,25\Rightarrow 11011100$ · $7,6875=4+2+1+0,5+0,125+0,0625\Rightarrow 01111011$.

5. Addition binaire

Règles : $0+0=0$ ; $0+1=1$ ; $1+1=10$ (0, retenue 1) ; $1+1+1=11$ (1, retenue 1).

   0110 1101   (109)
 + 0011 0101   ( 53)
 -----------
   1010 0010   (162) ✓

On additionne colonne par colonne de droite à gauche, en reportant la retenue sur la colonne suivante. Multiplier par 2 = décaler d’un rang vers la gauche (ajouter un 0 à droite).

6. ASCII et bit de parité

• ASCII : 128 caractères sur 7 bits. A = 65, Z = 90, a = 97, z = 122, 0 = 48, espace = 32.
• Parité paire : on ajoute un 8e bit pour que le nombre total de 1 soit pair → détecte une erreur de transmission d’un bit.
• a = 97 = 110 0001 (3 bits à 1, impair) → bit de parité 1 → octet 1110 0001.
• Aujourd’hui : UTF-8 (Unicode) code tous les caractères du monde ; les 128 premiers sont identiques à l’ASCII.

7. Lien avec le réseau

Objet	Base	Exemple
IPv4	décimal pointé, calculs en binaire	255.255.255.192 = 11111111.11111111.11111111.11000000
MAC	hexa, 48 bits	3C:52:82:1A:9F:04
IPv6	hexa, 128 bits	2001:db8::1
Droits Linux	octal (base 8)	chmod 755 = 111 101 101

8. Script : scripts/maths/conversions.py

python3 conversions.py dec 46          # divisions successives + hexa
python3 conversions.py bin 10100110
python3 conversions.py hex D4A
python3 conversions.py signe -58       # complément à 2
python3 conversions.py virgule 13.75
python3 conversions.py parite a

En Python directement : bin(46), hex(166), int("D4A", 16), int("101110", 2), format(-58 & 0xFF, "08b").

Voir aussi

• R03 - Adressage IPv4 et classes · M01 - Arithmétique et chiffrement affine · M03 - Logique booléenne et Karnaugh
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