M05 - Suites numériques

M05 - Suites arithmétiques et géométriques

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1. Les deux suites du programme

	Arithmétique	Géométrique
Passage d’un terme au suivant	on ajoute $r$ : $u_{n+1}=u_n+r$	on multiplie par $q$ : $u_{n+1}=q\times u_n$
Terme général	$u_n=u_0+nr$	$u_n=u_0\times q^n$
Avec $u_p$ connu	$u_n=u_p+(n-p)r$	$u_n=u_p\times q^{n-p}$
Somme $u_0+\dots +u_n$	$\frac{(n+1)(u_0+u_n)}{2}$	$u_0\times \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ ($q\ne 1$)
Prouver le type	$u_{n+1}-u_n$ = constante	$\frac{u_{n+1}}{u_n}$ = constante
Situation typique	Augmentation fixe (+1000 par niveau, −0,21 m/an)	Augmentation en pourcentage (+34 %/an → $q=1,34$ ; −2,5 % → $q=0,975$)

Comparaison avec $u_0=10$ :

$n$	0	1	2	3	4	5	6	7	8
Arithmétique $r=5$	10	15	20	25	30	35	40	45	50
Géométrique $q=1,3$	10	13	16,9	22	28,6	37,1	48,3	62,7	81,6

L’arithmétique monte régulièrement (droite), la géométrique s’envole (exponentielle) dès que $q>1$.

2. Résoudre « à partir de quand ? » (seuil)

Arithmétique : inéquation du 1er degré. Falaise à 15 m qui recule de 0,21 m/an : $u_n=15-0,21n<10⟺n>\frac{5}{0,21}\approx 23,8$ → n = 24 ans.

Géométrique : on utilise le logarithme : $\log (a^n)=n\log a$. $q^n>k⟺n\log q>\log k⟺n>\frac{\log k}{\log q}(\text{si }q>1)$

Si $0<q<1$, alors $\log q<0$ et l'inégalité change de sens quand on divise.

Exemples BTS :

• RAM : $u_n=4\times 1,34^n>1000⟺1,34^n>250⟺n>\frac{\log 250}{\log 1,34}\approx 18,9$ → n = 19.
• Falaise à −2,5 %/an : $v_n=15\times 0,975^n<10⟺n>\frac{\log (2/3)}{\log 0,975}\approx 16,0$ → n = 17 ($v_{16}\approx 10,004$, $v_{17}\approx 9,75$).
• $(1/2{)}^n<0,001⟺n>\frac{\log 0,001}{\log 0,5}\approx 9,97$ → n = 10.

3. Exercice

Un jeu vidéo : le coût du niveau $n$ est $u_n=450\times 1,5^n$. Coût total des niveaux 0 à 20 ?

Correction

Somme géométrique : $450\times \frac{1-1,5^{21}}{1-1,5}\approx 1994254$.

4. Lien avec l’informatique

Croissance de la puissance des processeurs (loi de Moore ≈ géométrique), du volume de données, intérêts composés, complexité des algorithmes (une boucle qui double à chaque tour = géométrique), nombre de sous-réseaux $2^n$ quand on emprunte $n$ bits (R04 - Sous-réseaux et VLSM).

5. Script : scripts/maths/suites_et_matrices.py

python3 suites_et_matrices.py arith 15 -0.21 24        # u24 et somme
python3 suites_et_matrices.py geo 450 1.5 20           # u20 et somme des niveaux 0 à 20
python3 suites_et_matrices.py seuil-geo 4 1.34 1000    # → n = 19
python3 suites_et_matrices.py seuil-geo 15 0.975 10    # → n = 17 (suite décroissante)

Python direct : import math; math.log(250) / math.log(1.34).

Voir aussi

• M06 - Matrices et systèmes · M02 - Numération (binaire, hexa)
• Retour : 00 - Index général