M06 - Matrices et systèmes

M06 - Matrices, déterminant, inverse et systèmes linéaires

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1. Vocabulaire

Une matrice ${\mathcal{M}}_{n,p}$ = tableau de $n$ lignes et $p$ colonnes. $a_{i,j}$ = terme ligne $i$, colonne $j$.

Type	Particularité
Carrée	$n=p$
Nulle $O$	Tous les termes valent 0
Identité $I_n$	1 sur la diagonale, 0 ailleurs - l’« élément neutre » : $I\times A=A\times I=A$
Diagonale	Termes non nuls seulement sur la diagonale
Triangulaire supérieure	Zéros sous la diagonale
Vecteur colonne	Une seule colonne

$I_3=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

2. Opérations

• Somme (mêmes dimensions) : terme à terme.
• Produit par un réel : chaque terme multiplié.
• Produit matriciel $A\times B$ : terme $(i,j)$ = ligne $i$ de A · colonne $j$ de B (somme des produits).

Conditions

Possible seulement si nb de colonnes de A = nb de lignes de B : $(n\times p)\times (p\times q)=(n\times q)$. En général $A\times B\ne B\times A$.

$\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 3\\ 0& 3& -1\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& -1\\ 2& -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1\cdot 1+(-2)\cdot 0+3\cdot 2& 1\cdot 3+(-2)(-1)+3(-2)\\ 0+0-2& 0-3+2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}7& -1\\ -2& -1\end{array}\right)$

3. Déterminant et inverse

$\det \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=ad-bc{A}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$

$A$ est inversible $⟺\det A\ne 0$. Alors $A\times A^{-1}=A^{-1}\times A=I$.

3×3 : développement selon la 1re ligne (signes $+-+$) : $\det A=a_{11}\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|-a_{12}\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{23}\\ a_{31}& a_{33}\end{array}\right|+a_{13}\left|\begin{array}{cc}{a}_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right|$

À l'examen, on te donne souvent une matrice $P$ et on te demande de vérifier que $P\times M=I$ : il suffit de faire le produit et de constater qu'on obtient l'identité → alors $P=M^{-1}$.

4. Résoudre un système $MX=B$

flowchart LR
  S["Système d'équations"] --> M["Écrire M × X = B<br/>(M = coefficients, X = inconnues, B = seconds membres)"]
  M --> V["Vérifier P × M = I<br/>donc P = M⁻¹"]
  V --> X["X = P × B"]

Démonstration : $MX=B\Rightarrow P(MX)=PB\Rightarrow (PM)X=PB\Rightarrow IX=PB\Rightarrow X=PB$.

BTS 2025 - prix des pièces P1, P2, P3 $\{\begin{array}{l}x+y+z=24\\ 2x+2z=40\\ x+3y=18\end{array}M=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 0& 2\\ 1& 3& 0\end{array}\right),N=\left(\begin{array}{ccc}-3& 1,5& 1\\ 1& -0,5& 0\\ 3& -1& -1\end{array}\right)$ $X=N\times \left(\begin{array}{c}24\\ 40\\ 18\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\ 4\\ 14\end{array}\right)$ → P1 = 6 €, P2 = 4 €, P3 = 14 € ✅ (vérifié par le script).

BTS 2018 - fibres : $M=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 3& 4& 7\\ 2& 3& 5\end{array}\right)$, $P=M^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -3\\ 1& -3& 4\\ -1& 1& -1\end{array}\right)$ ($\det M=-1$) ; pour $(21,94,67)$ : $X=(8,7,6)$.

5. Lien avec l’informatique

6. Script : scripts/maths/suites_et_matrices.py (calcul exact en fractions)

python3 suites_et_matrices.py produit "1,-2,3;0,3,-1" "1,3;0,-1;2,-2"
python3 suites_et_matrices.py det "1,1,1;3,4,7;2,3,5"
python3 suites_et_matrices.py inverse "1,1,1;2,0,2;1,3,0"
python3 suites_et_matrices.py systeme "1,1,1;2,0,2;1,3,0" "24,40,18"     # → 6, 4, 14

Avec NumPy : import numpy as np; np.linalg.solve(M, B), np.linalg.inv(M), M @ N.

Voir aussi

• M05 - Suites numériques · M07 - Graphes et plus court chemin
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